ˆ Dichtefunktion: ƒ X ( ) = F ( ) bei differenzierbarer Verteilungsfunktion (stetige Zufallsvariable) (, ) E [X] = E X 1
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- Brigitte Fromm
- vor 5 Jahren
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1 Formlsmmlug Eigschft vo Zufllsvril X si i (disrt odr sttig Zufllsvril. ˆ Vrtilugsfutio: F X ( = P(X ˆ Dichtfutio: ƒ X ( = F ( i diffrzirrr Vrtilugsfutio (sttig Zufllsvril ˆ Zähldicht, Frquz- odr Mssfutio: ƒ X ( = P(X = i disrt Zufllsvril ˆ Lyr-Idtität: mi(mx(x ; ; = mi(x; + mi(x; = mx(x ; mx(x ( + ; Momt vo Zufllszhl ˆ -ts Momt (für N : E X = i sttig Zufllsvril: E X = i disrt Zufllsvril: E X = ˆ Erwrtugswrt (rsts Momt vo X: df( (, ƒ (d ƒ X ( E [X] = E X ˆ Für d Fll, dss m s mit ir Mischform sttigr ud disrtr Vrtilug zu tu ht, igt sich di folgd Forml: w X ichtgtiv ist. E [X] = ( F(d, ˆ -ts ztrls Momt: E [(X E [X] ] für N ˆ Vriz (. ztrls Momt vo X: Vr [X] = E (X E [X] = E X (E [X] ˆ Stdrdwichug: [X] = Vr[X] ˆ Vritiosoffizit für E[ X] > : Vo[X] = [X] E[X] = Vr[X] E[X] ˆ Asolut Schif (3. ztrls Momt vo X: E (X E[X] 3 ˆ (Rltiv Schif für [X] > : γ[x] = E (X E[X] 3 (Vr[X] 3 ˆ i s gstutzts -ts Momt (mit N ud s R: E[X X > s] = E[X (s, (X] = P(X > s = E (X E[X] 3 ([X] 3 (s, df( F(s
2 Trsformirt vo Zufllsvril ˆ Chrtristisch Futio: ψ X (t = E tx mit t R ud imgiärr Eihit ˆ Momtrzugd Futio: MEF X (t = E tx, t R i sttig Zufllsvril: MEF X (t = t ƒ (d ˆ (Whrschilichits-Erzugd Futio: m X (t = EF X (t = E t X, t [, ] i disrt Zufllsvril: m X (t = t ƒ X ( Uglichug ˆ Mrov (für ll c > : P ( X c E[ X ] c E[h ( X ] P ( X c h(c für strg mooto wchsd Futio h uf R + ˆ Tschychv (für ll c > : P ( X E[X] c Vr[X] c ˆ Ctlli (für ll c > : P (X E[X] + c Vr[X] c + Vr[X] Wchslzihug zwisch Zufllsvril Sid A ud B Erigiss mit P(B =, d gilt für di digt Whrschilichit P(A B: P(A B P(A B = P(B Di Vrtilug dr Zufllsvril Y, gg X =, wird ls digt Vrtilug vo Y, gg X =, urz P Y X=, zicht. P Y X= ht di vo hägig Vrtilugsfutio P(Y y, X = F Y X= (y = P(Y = y X = = P(X = Fsst m ds digd Erigis ls Zufllsvril X uf, so sid di Momt dr digt Vrtilug vo Y, gg X, trsformirt Zufllsvril vo X ud für dis ö flls Momt rcht wrd. ˆ Itrtivität dr Erwrtugswrt E[E[Y X]] = E[Y] für ll X ud Y E[Vr[Y X]] + Vr[E[Y X]] = Vr[Y] für ll X ud Y ˆ Kovriz: Cov(X, Y = E[(X E[X] (Y E[Y]] = E[X Y] E[X] E[Y] ˆ Korrltiosoffizit: Cov(X, Y X E[X] ρ XY = = Cov, Y E[Y] [, ] Vr[X] Vr[Y] Vr[X] Vr[Y]
3 Summ vo Zufllsvril ˆ Fltug: Sid X ud Y stochstisch uhägig, so ist di Vrtilug dr Summ X + Y durch di Fltug P X P Y dr Vrtilug P X ud P Y gg: Sttig Fltugsforml (P X P Y (A = A ƒ X ( ƒ Y (z d R mit A R, w X, Y sttig Zufllsvril mit Dicht ƒ X zw. ƒ Y sid. Disrt Fltugsforml (P X P Y ({} = P(X + Y = = dz P(X = P(Y = = mit N, w X, Y disrt Zufllsvril uf N sid. ˆ Zufllssumm: N si i disrt Zufllsvril uf {,,,...} ud S i Zufllssumm mit rwis stochstisch uhägig, idtisch wi X vrtilt X, di stochstisch uhägig vo N sid.. Glichug vo Wld: E[S] = E[N] E[X]. Glichug vo Wld: Vr[S] = E[N] Vr[X] + Vr[N] (E[X] ˆ Fudmtlforml: ψ S (t = m N (ψ X (t MEF S (t = m N (MEF X (t X disrt vrtilt uf {, Δ, Δ,...}, Δ > für ll t R für ll t R m S (t = m N (m X (t für ll t [, ] ˆ Zusmmgstzt Poisso-Vrtilug (Szilfll ir Vrtilug ir Zufllssumm Dfiitio: ZPV(, P X = P S mit mit X P X, N P( Erwrtugswrt: E[S] = E[X] Vriz: Vr[S] = E[X ] Asolut Schif: S = N X = E (S E[S] 3 = E[X 3 ] Rltiv Schif: γ[s] = E[X 3 ] (E[X ] 3 ˆ Norml-Powr-Aroximtio: Es si U i Zufllsvril mit xistird Momt μ = E[U], = Vr[U] >, γ = γ[u] >. D gilt di Nährug: P(U γ γ + 6 γ μ + 9 3
4 B. Vrtilug Disrt Vrtilug Bzichug/ Kurz~/Prmtr Zähldicht = P N = ( Rursio für Zähldicht Erwrtugswrt Vriz Schif (Whrschilichits- Erzugd Futio Poissovrtilug ( ( > Biomilvrtilug B( m, θ ( m, θ (, =! ( m = θ ( θ ( =,..., m m = ( = m + θ = θ ( =,..., m ( θ = m m θ m θ ( θ θ m θ ( θ θ t + ( t ( θ m Ngtiv Biomil- Vrtilug NB( β, θ ( β >, θ (, β + = θ ( ( θ β β + = θ ( ( θ = β θ β θ β θ ( θ + θ β θ θ θ t β 5
5 Sttig Vrtilug (I Bzichug/ Kurz~/Prmtr sttig Glichvrtilug (, ( <,, Dicht x (, ( ( x Vrtilugsfutio x x < x x > Erwrtugswrt Vriz + ( Schif Momtrzugd Futio t = t t t ( t Gstutzt Momt EX X > s + + s ( + ( s ( s (, Gmmvrtilug Γ (, (, (, Exotilvrtilug Ex ( ( > Normlvrtilug ( μ, ( μ, > Γ ( x ( x > x ( x x ( x μ π ( x x t t dt Γ( =Γ : (, x ( x ( x x x μ Φ ( x μ t ( t < t ( t < t ( ( s (, Γ( ( Γ (, Γ + Γ +! = s ( s! + (-Schritt-Rursio 6
6 Sttig Vrtilug (II Bzichug/ Kurz~/Prmtr Logormlvrtilug LN ( μ, ( μ, > Dicht ( l( x μ π x ( x > Vrtilugsfutio ( l x μ Φ ( x > Erwrtugswrt Vriz μ+ μ+ ( Schif ( Momtrzugd Futio + Gstutzt Momt EX X > s ( s l μ μ Φ + l ( s μ Φ (Euro Prto- Vrtilug Pr (, (, (, um vrscho (Amric Prto- Vrtilug Pr (, (, (, + x ( x > + x ( x > + x ( x > + x ( x > ( > ( > ( ( ( > ( ( 3 + ( > 3 xistirt icht = s ( s >, > ( s + 7
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Tylor Formel Die Tylorsche Formel liefert eie Approximtio eier Fuktio durch ei Polyom, gemeism mit eier Abschätzug des Fehlerterms. Zwischewertstz: Eie stetige Fuktio f : [, b] R immt jede Wert γ zwische
k + n + 1. t k+n dt =
7 Orthogoalpolyome Beispiel Sei f : [,] R stetig. Aufgabe: Bestimme die Bestapproximatio P P N mit P f Q f für alle Q P N bezüglich der Norm u = u,u mit dem Salarprodut u,v = u(t)v(t). Lösug : Wähle Moombasis,t,t,...,t
Wir betrachten hier nur den Fall m,n N, also m>0 und n>0. Die anderen Fälle, bei denen m=0 oder n=0 ist, können leicht selbst gelöst werden.
Übugsaufgab Fourirrih Mahmaik III M Prof. Dr. B. Grabowski Bla 6 grabowski@hw-saarlad.d Lösug zu Übugs-Bla 6 Zu Aufgab Wir brach hir ur d Fall m, N, also m> ud >. Di adr Fäll, bi d m odr is, kö lich slbs
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